平均值定理是求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。柯西积分公式是一把钥匙，开启了许多方法与定理，刻画了解析函数的又一种定义，人们对其的研究极具意义，让解析函数论能够单独脱离于实函数。一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点和实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，导数在这区间上是否连续也不一定。